Momento de inercia

[Mondeo14]

Buenas, aquí estoy de nuevo con un trabajillo
Ayer comenté que tenía que hacer unos cálculos y que como no soy ingeniero, por que no he podido estudiar, pues no sabía como hacerlos (ahora ya si que lo se).
Tengo que calcular el Momento de Inercia de un disco girando sobre su eje. Esto se calcula a la hora de dimensionar un divisor o similar. A mi, nuestro proveedor me ha mandado lo que necesito con los cálculos (los valores, no las fórmulas) y me decía que para poder darle mas velocidad, tenía que bajar el momento de inercia del conjunto. Manos a la obra empecé a investigar y me quedé a medias. Esta mañana cuando iba para la oficina me planteaba mirar a ver si Inventor es capaz de hacerlo y si mucho no me equivoco, lo hace, por lo menos el dato es muy parecido. Pero quiero saber como hacerlo y quiero que quien se atreva a calcularlo, desarrolle la formulación para que todos aprendamos, yo el primero. Insisto, ya se los datos y ya tengo calculado lo que necesito, pero me gustaría que me ayudaseis y ayudaseis a los demás.
Este es el ejemplo:



Partimos de un disco de aluminio de ø1625 exterior, ø1135 interior y 25 de espesor. Sobre este disco hay 12 prismas de 1 kg de peso y su centro de gravedad esta en un ø 1530

¿Alguno se atreve a plantearlo?.

Gracias de antemano.

[Buscon]

Hay que bajar el centro masas todo lo posible. Los límites son, que los prismas no se solapen lo que limita la longitud máxima de uno de los lados de la base. Los prismas imagino que no pueden sobresalir ni del diámetro interior ni del diámetro exterior, esto límite la longitud máxima de otro de los lados de la base. Sabemos la masa , sabemos la densidad, podemos saber el volumen.

Con las restricciones hay que calcular la mínima altura del centro de masas de un prisma, el volumen es constante, las variables son largo, ancho y alto del prisma. 

[Mondeo14]

Los datos son los que son, no hay que rebajar nada, ni desplazar nada. Y un detalle, el centro de gravedad de los prismas poco o nada me afectan en cuanto a la altura, es mas, no es necesario para el cálculo que trato de hacer y enseñar. Si los prismas son mal altos o mas bajos, mas grandes o mas pequeños, lo que necesito de ellos es el peso y en que radio se mueve su centro de gravedad. Porque también se puede dar el caso de que cada prisma este en un radio distinto (en este ejemplo no) y entonces las inercias cambian.
Pero bueno @Buscon , me alegra que seas el primero en comentar, si quieres puedes seguir pensando o estar atento a ver si alguien se anima. Lo dejaré pasar unos días a ver si le damos algunas respuestas.

[Ricardo]

¿Alguno se atreve a plantearlo?.

Aquí en un foro no me atrevo, son cálculos complejos que me costaron lo suyo cuando estudiaba.

Por definición el momento de inercia es la suma de los productos entre las masas de las partículas del cuerpo multiplicadas por el cuadrado de la distancia entre estas partículas y el centro sobre el cual queremos obtener el momento de inercia.

Según esto, el momento de inercia (a partir de ahora lo llamare mdi) de una misma figura, es diferente respecto al centro o respecto a un eje y ejes pueden haber varios (que pase por el centro de figura, que pase por un extremo, que pase a "X" centímetros de un lado, etc. etc,).

Para el calculo debemos imaginar un elemento infinitesimal (seria un trocito muy, muy pequeño) de la linea, superficie o cuerpo, y multiplicar la masa de este elemento por el cuadrado de distancia entre el elemento y el eje.

Habría que repetir esta operación con los millones de elementos que al ser pequeñísimos tendríamos en nuestra figura, no os asustéis para esto tenemos en matemáticas las integrales.

Bueno lo dicho, cálculos complejos según sea la figura.

Por suerte hoy tenemos los programas de CAD que también nos ayudarán con los mdi.

En SolidWorks si vamos a "Calcular / Propiedades físicas" obtendremos los mdi respeto a varios ejes, eso si dibujaremos la figura y debemos asignar materiales para tener la masa del cuerpo.

Hay que tener especial cuidado con las unidades, si tenemos un material y densidad que tiene asignada en SolidWorks es, por ejemplo 8 Kg/dm³ y estamos dibujando en milímetros los resultados no serán correctos, todo debe tener la misma unidad, si dibujamos en milímetros la densidad en milímetros.

Lo siento no se me ocurre nada mas que explicaros y que sea fácilmente entendible.

Saludos.

PD. Si en este caso nos interesa bajar el mdi, pero en principio, no nos importa conocer su valor, según la definición para bajar mdi podemos bajar el peso o reducir las dimensiones (al estar elevada al cuadrado la dimensión, bajara mas rápido si reducimos las dimensiones que si bajamos solo el peso)

[Mondeo14]

Yo no soy ningún erudito en el tema, es mas, sabéis que no tengo ni idea de cálculos y que siempre me apoyo en vosotros o en mis compañeros, pero te puedo asegurar que es mas simple que lo que planteas. Ayer cuando recibí la oferta del proveedor y vi que no cumplía con los tiempos que le había pedido, este me comentó que para bajar los tiempos de giro, tenía que bajar la inercia del conjunto y aún y todo no llegaría a lo que yo le había pedido. Estoy hablando de décimas de segundo, yo le pedía 0,4 para un giro de 30º y el me daba 0,59
Bien, detalles aparte, hablando con mi jefe me dijo que no podía ser y que hiciese el disco mas pequeño, que juntase mas los prismas y que fuese calculando hasta que me diese la inercia que el proveedor me había indicado, la mitad de lo que este cálculo da.
Yo no me asusto por nada, si lo tenía que hacer (que ya le dije claramente que yo no sabía calcularlo), pues se hacía, pero no quería estar dependiendo siempre de mis compañeros. Indagué un poco por Internet y localicé un vídeo (que lo pondré mas adelante), donde estaba explicado con pelos y señales, hasta desarrolla la fórmula y la va simplificando, una parte del problema.
En serio @Ricardo , es muy sencillo, igual no me he explicado bien, pero cuando lo explique yo u otro, verás que esto es fácil, para el que sabe hacerlo.
Para el fin de semana estará todo solucionado, quiero ver mas opiniones. Tu no te preocupes, se paciente y luego me montas la bronca si meto la pata.
¿Quieres hacerlo en SW y ver lo que te da, para luego comparar?, pues dibujate el disco de aluminio, haz un prisma de acero cuadrado que pese 1 kg (las dimensiones es lo de menos, pero si quieres es un cuadrado de 70, con radios en las esquinas de R5 y una altura aproximada de 26,3 pero insisto las dimensiones es lo de menos, quiero que pese 1 kg) y luego haces una matriz de 12 unidades y con el radio o ø que te indico. A ver que te sale, pero cuando lo solucionemos.

[Ricardo]

te puedo asegurar que es mas simple que lo que planteas.

Y yo te puedo asegurar que lo que he explicado es lo que debe hacerse en un caso general, según sea la figura el calculo puede ser simple, pero en general no.

En mis estudios de ingeniería, todos sabíamos que en el examen final había seguro el calculo de un momento de inercia y te aseguro que no era nada fácil.

Espero ansioso ese video con el calculo fácil.

Saludos

[Buscon]

Si los prismas son cubos es otro tema. Si tiene que ser un cubo de aluminio, pesa 1 kg, y está a una distancia d del centro del disco no hay nada que minimizar. No hay variables. Hay que saber cuanto mide el cubo de arista para 1 kg de aluminio. Se calcula con la fórmula
 

V  = m/d = 1000/2,7 = 370,37  cm³ 

donde V es el volumen m es la masa en gramos y d la densidad del aluminio 2,7g/cm³.
 
Ahora es fácil saber las dimensiones del cubo, su volumen es largo x ancho x alto,  pero al ser un cubo miden igual así que la medida de la arista debe ser la raíz cúbica de 370,37, esto es, 7,18145 cm aproximadamente.

Se trataría de dibujar un cuadrado de lado 7,18145 extruir 7,18145 y matriz circular de 12 instancias. Tal y como está planteado el ejercicio, interpreto que los cubos equidistan del centro y entre si.

Si no son cubos y no equidistan es harina de otro costal.

Os puedo asegurar que la forma del prisma si influye en el momento de inercia, en concreto su altura.

Al variar la altura del prisma se varía la altura de su centro de masas y eso hace que su distancia al centro del círculo también varíe. Cuanto más alto más distancia y por lo tanto más momento de inercia.

Sin integrales ni derivadas, para un caso sencillo y comprensible de un sólo prisma: 

Resulta que
 

   I = m x d², 

esto es, el momento de inercia es igual a la masa del prisma multiplicado por la distancia que hay desde su centro de masas al centro del circulo al cuadrado. El centro de masas de un prisma está justo en su centro geométrico.

Es claro que si  varía d, varía I.

¿Como se puede variar d si la perpendicular de su centro de masas debe pasar pasa por un circulo de diámetro dado, (1530 mm)?  Pues bajando o subiendo el centro de masas. ¿Como se sube o baja el centro de masas ? Pues cambiando el largo  y/o el ancho de la base del prisma, esto hace que su altura también tenga que variar para mantener su volumen constante.

Resumiendo, para un prisma de volumen constante, (peso constante de 1 Kg):

A mayor base menor altura, menor distancia de su centro de masas al centro del disco, y menor momento de inercia.

*
Si los prismas están en distintos radios deben hacerlo simétricamente, dos a dos, tres a tres, cuatro a cuatro, o seis a seis, que son los divisores de 12, por que sino el disco vibrará.

Para calcular la forma y disposición óptimas de los prismas hacen falta unos cálculos muy pero que muy complejos. No tengo los conocimientos suficientes para resolverlo, pero estoy en ello.   

Hay que usar diferenciales de volumen y luego integrar, si no equivoco con respecto a tres variables, largo ancho y alto del prisma, teniendo en cuenta unas cuantas restricciones:

se me ocurren entre otras que los prismas no pueden solaparse y supongo que no pueden sobresalir del disco ni por la parte interior ni por el exterior.

El momento de inercia mínimo se da cuando el espesor total (sumatoria de los espesores de cada prisma), sea mínimo, y por lo tanto, el área total de sus bases (sumatoria de las áreas de sus bases), máxima.

Saludos.
 

[Buscon]

Yo diría que lo que espera Mondeo14 se aproxima a esto.




 

[Mondeo14]

Parece que se anima la cosa, vas encaminado @Buscon , pero vuelvo a insistir:

el centro de gravedad de los prismas poco o nada me afectan en cuanto a la altura, es mas, no es necesario para el cálculo que trato de hacer y enseñar.

Ni es necesario el material, ni es necesarias las dimensiones, simplemente saber el peso y sobre que diámetro está el centro de gravedad. He puesto un prisma porque lo que es real tiene la forma en planta cuadrada y con esas dimensiones. Pero puede ser irregular o incluso no se una figura geométrica, lo que importa son los datos que se indica, peso y distancia desde el centro de gravedad al eje de giro. No tiene ninguna importancia a que altura, ya que cuando gire el disco, que este en la base o un poco mas arriba, no tiene influencia en el resultado. Daros cuenta que si son 12 cuerpos iguales, aunque el centro de gravedad este a un metro del disco, la inercia es la misma porque todos están equidistantes.

Resulta que

I = m x d²

Si esa "d" es diámetro, creo que tienes un error. La fórmula es

masa x radio al cuadrado

Y para terminar un detalle o pista: La fórmula es inercia del disco +  inercia de los prismas = inercia del conjunto.

¿Integrales?, pues no tengo ni idea de que son o como se hacen y si intervienen en este cálculo, pues no me he enterado.

Un día o dos mas y lo resuelvo, que creo hay ganas.

@Buscon , si has hecho el 3D en SW, aplica los materiales y comprueba en las propiedades el momento de inercia. Te vendrán 3, que serán en los 3 ejes, a ti te interesa en el eje que pasa por el centro del disco. Claro, el eje ha de estar en el centro, si no, mal.
Y por cierto, no se trata de hacer el dibujo con los resultados, se trata de desarrollar la fórmula y mostrar el resultado.

[Buscon]

No tiene ninguna importancia a que altura, ya que cuando gire el disco, que este en la base o un poco mas arriba, no tiene influencia en el resultado. Daros cuenta que si son 12 cuerpos iguales, aunque el centro de gravedad este a un metro del disco, la inercia es la misma porque todos están equidistantes.

Mi modesta opinión, sin tener en cuenta el momento de inercia del disco ya que este es constante, (que por cierto requiere integrar para calcularlo).

El momento de inercia    I_i    para un radio de 1 metro con una masa de 1 kilo, para cada prisma    i    es:
 

I_i = m_i x r² = 1 Kg x 1 m = 1 Kg/m 

aproximadamente 10 Newtons.

Como hay 12 objetos de 1 Kg, el momento de inercia total (sin contar el disco, solo los prismas, o cubos, o lo que sea), es la suma de los momentos inerciales debidos a cada objeto, esto es,

I = I₁ + I₂ +...+I₁₂​​ =​​​​​ 12 x 10 N = 120 Newtons.

Si hay variación de r está claro que hay variación de I.Para los mismos 12 objetos a una distancia de 0.5 metros el momento de inercia es

1 x 0.5 x 12 = 60 Newtons

Sucede lo mismo que cuando una patinadora que gira pega los brazos a su cuerpo, lo que hace es reducir su momento de inercia, tiene que hacer menos esfuerzo para girar y por lo tanto gira más rápido.
 

@Buscon , si has hecho el 3D en SW, aplica los materiales y comprueba en las propiedades el momento de inercia. Te vendrán 3, que serán en los 3 ejes, a ti te interesa en el eje que pasa por el centro del disco. Claro, el eje ha de estar en el centro, si no, mal.

Si, es una buena manera de comprobar lo que digo. Probando con prismas de distinta altura (cambiando solo la altura) debe variar la inercia.
Si el programa que usas te deja cambiar la forma del prisma manteniendo el mismo volumen deberías de poder comprobarlo tu mismo. 
Por mi parte es lo siguiente que voy a hacer, después de cenar algo que tengo hambre. 

Creo saber por dónde andas. Tu quieres la fórmula que se necesita para poder cambiar la forma del prisma manteniendo su masa constante. Es decir, tu quieres saber cuanto tiene que adelgazar si lo haces crecer o cuanto tiene que engordar si lo haces decrecer para que siga pesando lo mismo ¿Es eso?

Pero insisto, si es eso y lo puedes probar en tu programa, estoy seguro que si lo haces te varía el momento de inercia.

El adjunto quizás arroje un poco de luz sobre lo que quiero explicar. Aun cuando r es siempre la misma, si se mueve hacia arriba o hacia abajo el centro de masas, (si se hace más gordo y mas corto o más delgado y más alto de manera que siga pesando lo mismo), entonces ya no tiene el centro de masas la misma distancia d al centro del disco, y por supuesto tampoco el mismo momento de inercia.



Saludines.

[Mondeo14]

Probando con prismas de distinta altura (cambiando solo la altura) debe variar la inercia.
Si el programa que usas te deja cambiar la forma del prisma manteniendo el mismo volumen deberías de poder comprobarlo tu mismo.

Empiezo a ver tu razonamiento muy razonable y estoy empezando a entender el por qué hay una pequeña diferencia entre mi Momento de inercia calculado y el que me da el programa con el que trabajo, es mas, lo que expongo en el plano es solo una representación esquemática, el diseño real tiene una forma distinta, los primas en realidad son 12 útiles para posicionar unas piezas y no son solo primas, tienen tornillos, postizos, etc. El peso es un dato aproximado, pero es lo que nuestro proveedor nos pide, nunca nos pide la cota en Z del centro de gravedad de los prismas. Me da que lo "desprecia" porque considera que no es muy alto y no repercute nada o muy poco en el cálculo final.
Inventor (el programa que uso), no dispone de nada que me deje cambiar las medidas manteniendo el peso, pero con una rutina se podría hacer, lo voy a estudiar.
Gracias por tu participación, esta interesante el tema, los demás no se si aprenderán, yo un montón.

[Buscon]

Buf! Entonces si que se complica, yo no me atrevo. El centro de masas para un prisma es fácil de encontrar, pero para un cuerpo irregular tiene tela. Si a eso le añadimos que al cambiar la geometría del cuerpo puede cambiar su centro de masas ya es tremendo. He estado ojeando por el SolidWorks y no encuentro tampoco nada parecido pero imagino que tiene que haber programas que si lo hagan automáticamente. Yo desconozco cuales. Es cuestión de investigarlo. Ahorrarán un montón de cálculos y de tiempo.

Si. El peso de 1 kg y la geometría de un prisma son relativamente fáciles de manejar. Están muy bien para tratar de comprender lo que sucede, a mi me han sido muy útiles. Se bastante más de lo que sabía. Listo para atacar casos más complejos.

Lo que si hace el SolidWorks es dar las coordenadas del centro de masas de una pieza. A falta de pan buenas son tortas. Se trata de ir probando con variantes geométricas, (intentando conservar el peso mediante ensayo y error) hasta dar con el momento de inercia adecuado. Con reducir la altura es suficiente para reducir el momento, pero claro, si se reduce la altura de una palomita de maíz ¿cuanto tiene que engordar y en que direcciones tiene que hacerlo para que pese lo mismo y además esté en la vertical de un radio dado? Complicado manualmente.

 

 

[Mondeo14]

Mi objetivo real, el que tengo que hacer en el curro, es bajar esa inercia, pero cambiando las dimensiones del disco (el espesor no) y acercando los prismas mas al centro. Pero eso es lo de menos, lo que quiero ahora es obtener el momento de inercia del conjunto tal cual, sin cambiar nada, a ver si coincide con el que yo he calculado y con el que el proveedor me dice que tiene, que es muy similar al mio. Ahí se acabará la historia y seguiremos con otros temas

[Buscon]

Esto es más sencillo.

Disco en un archivo de pieza. El programa calcula su momento de inercia.

Matriz con las piezas tal y como deberán estar dispuestas sobre el disco en otro archivo de pieza. El programa calcula su momento de inercia.

Sumar y listo. 

[Buscon]

Para lo otro se me ocurre lo siguiente:

Un tiovivo vacío, sin pasajeros no cambia su momento de inercia según va girando si cuando bajan unos objetos otros tantos suben. Entonces:

• Por una parte hacer el disco en planta con extrusión hacia abajo.

• Por otra,

   - Matriz circular de los prismas como si fueran un tiovivo, de esos que suben y bajan según giran, pero aquí hacerlos bajar o subir todos a la vez e ir haciendo pruebas. El momento de inercia del disco es una constante que se puede sumar al resultado obtenido y que el programa genera automáticamente. Con esto se sabe cual deberá ser  la coordenada en el alzado del centro de masas de los objetos para un determinado momento de inercia, en particular, el que piden menos el del disco.
 

Ojo! La distancia del objeto al centro medida normal a un eje que pasa por el centro de la matriz ha de ser de 1530 mm suban o bajen los objetos.

   - Poner la base del objeto en el plano de planta sin que la cara superior se mueva.

   -  Engordarlo en alguna dirección para conseguir el peso que debe tener.

   - Ensamblar todo y listo. 

Saludos